伯努利方程的應用分析

流體流動(dòng)的基本原理是化工原理課程的重要基礎，因其不僅是流體輸送、攪拌、沉降及過(guò)濾的理論基礎，也是傳熱與傳質(zhì)過(guò)程中各單元操作的理論基礎。而伯努利方程及其應用是流體流動(dòng)zui核心的內容，因此，掌握伯努利方程及其應用對于學(xué)好化工原理課程極為重要。

在化工原理課程的教學(xué)實(shí)踐中，伯努利方程及其應用一直被認為是貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程的重點(diǎn)和難點(diǎn)。關(guān)于對伯努利方程的理解已有很多文獻報道，本文在此不過(guò)多介紹。為了幫助學(xué)生更好地掌握伯努利方程應用，本文針對學(xué)生在學(xué)習中可能會(huì )遇到關(guān)于伯努利方程應用的問(wèn)題，對其進(jìn)行系統的討論分析，希望對學(xué)習者有所幫助。

1、伯努利方程

伯努利方程描述的是理想流體流動(dòng)過(guò)程中機械能守恒的問(wèn)題，其中不存在機械能損失，只涉及流體動(dòng)能、位能和靜壓能之間的相互轉換。但化工生產(chǎn)中很多流體都是實(shí)際流體，其流動(dòng)過(guò)程中一部分機械能因內摩擦力而轉化為內能，使得流體流動(dòng)過(guò)程機械能不守恒。為保證流體的穩定連續流動(dòng)，通常采用泵做功的方式向流體補充相應的機械能，其衡算關(guān)系為:

式( 1) 、( 2) 和( 3) 均為實(shí)際流體機械能衡算式，習慣上也稱(chēng)為實(shí)際流體的伯努利方程式( 下文中伯努利方程均指實(shí)際流體的伯努利方程) 。3 個(gè)衡算式只是能量衡算基準不同，分別對應單位質(zhì)量流體、單位重量流體和單位體積流體，應用時(shí)可以靈活選擇。

在伯努利方程應用中，需特別注意其適用范圍，即穩定流動(dòng)下的不可壓縮流體。這是很多同學(xué)在應用伯努利方程解題時(shí)zui容易忽視的地方，往往不加任何判斷選取兩個(gè)截面直接就列衡算方程。一般條件下的液體可認為是不可壓縮性流體，但若所處理的流體為氣體時(shí)，必須先判斷伯努利方程是否適用。若兩衡算截面間的壓力變化不超過(guò)20%，方可用于工程應用上的近似計算，并且方程式中的密度ρ 應取兩截面間平均壓力下的平均值。此外，還需要特別注意方程式中的壓力P1、P2，除了要求兩者單位統一外，還必須要求其表達方式也一樣，即同為絕壓，或同為表壓。

2、伯努利方程的應用

伯努利方程是流體流動(dòng)的基本方程式，其應用范圍很廣，可用于確定設備間的相對位置、流體流量、輸送機械的有效功率等。下面根據單位質(zhì)量流體的伯努利方程，就習題中可能會(huì )遇到的問(wèn)題，將其應用分為基本應用和擴展應用分別加以討論，如圖1 所示。

圖1 伯努利方程應用示意圖

2．1 基本應用

2．1．1 確定設備間的相對位置ΔZ

ΔZ可用于確定為達某種流體輸送目的，兩設備需滿(mǎn)足的相對位置。此類(lèi)問(wèn)題在習題中通常以求解高位槽液面高度的形式出現。根據題意，確定方程式中其他各項的值，即可解出ΔZ。

2．1．2 確定管道中流體的流量qv

伯努利方程中的u 為流體在管中的平均流速，結合連續性方程( qm=ρAu 或qV=Au) ，即可確定管道中流體流量。

2．1．3 計算管路中各點(diǎn)的壓力P或壓力差ΔP
通過(guò)在管路中某點(diǎn)所在截面A 與某已知壓力截面B 之間列伯努利方程，即可確定某點(diǎn)的壓力?；蛲ㄟ^(guò)在管路中任意兩截面間列伯努利方程來(lái)確定兩截面間的壓力差。

2．1．4 確定輸送機械的有效功率及軸功率

方程中W指單位質(zhì)量流體從流體輸送泵處獲得的有效機械能，將W值乘以質(zhì)量流量即為輸送機械的有效功率Ne，再除以泵的效率即為所需泵的軸功率N。根據N 或Ne值可以選擇合適的輸送機械。

2．1．5 確定管路中流體的流動(dòng)方向

管路中流體的總機械能ΔE 為流體的位能、動(dòng)能和靜壓能之和。流體在管路中流動(dòng)時(shí)，因存在阻力，其流動(dòng)方向總是沿著(zhù)機械能降低的方向。因此，通過(guò)計算兩截面上的總機械能，可以判斷流體流動(dòng)方向。

2．1．6 確定阻力損失

方程中Σhf為兩衡算截面間的總阻力損失，包括直管阻力和局部阻力。通過(guò)伯努利方程，可以確定管路中某段管路的阻力損失。此外，管路中流體流動(dòng)阻力還可以通過(guò)阻力公式直接計算獲得。

2．2 擴展應用

2．2．1 流量測量

與靜力學(xué)基本方程聯(lián)用，用于管路中流體流量的測量?；どa(chǎn)中常用的流量計( 包括測速管、孔板流量計、文丘里管流量計、轉子流量計等) 都是利用流體流動(dòng)過(guò)程中機械能轉化原理而設計的。例如，孔板流量計就是利用流體流經(jīng)孔板時(shí)，靜壓能轉換為動(dòng)能，產(chǎn)生壓力差，再通過(guò)測量此壓力差來(lái)實(shí)現流量的測量。

2．2．2 管路計算

管路計算就是綜合運用伯努利方程、連續性方程、摩擦阻力損失計算式、摩擦系數計算式等解決實(shí)際生產(chǎn)中常遇到的管路系統的設計和操作問(wèn)題。管路系統可分成簡(jiǎn)單管路和復雜管路，這里只討論簡(jiǎn)單管路。簡(jiǎn)單管路包括等徑管和串聯(lián)管，常遇到的管路計算問(wèn)題主要包括以下三種。

①摩擦阻力損失Σhf的計算( 已知l、d、ε/d、qv( 或u) ，求Σhf) ，這類(lèi)計算相對簡(jiǎn)單，先根據u 計算出Re，再根據Re 和ε/d計算或查圖求出λ，zui后根據阻力計算公式解出Σhf即可。

②流量計算( 已知l、d、ε/d、Σhf，求qv( 或u) ) ，為避免試差計算，可以將阻力公式和Re 計算式代入λ 的經(jīng)驗計算式，如布拉修斯( Blasius) 關(guān)聯(lián)式、考萊布魯克( Colebrook) 關(guān)聯(lián)式以及哈蘭德( Haaland) 關(guān)聯(lián)式等，解出流速u(mài)。需特別注意的是解出流速u(mài) 后，需要驗算所采用經(jīng)驗公式的適用條件是否滿(mǎn)足。

③管徑計算( 已知l、Σhf、ε、qv，求d) ，這類(lèi)問(wèn)題較復雜，因Re = duρ /μ 與ε /d 中都有d，需要用試差法計算。首先根據題意，找出λ 和d 的關(guān)系式，即試差等式，然后按照圖2 所示方法進(jìn)行試差，計算出所需管徑。在實(shí)際應用中，應根據具體的設計需要，選用總費用( 包括動(dòng)力費和設備費) zui省的管徑，即適宜管徑。

圖2 試差過(guò)程示意圖